Algèbre de Clifford Article, Signification, Explication

Les algèbres de Clifford sont des algèbres associatives importantes en mathématiques (notamment au sein des théories des formes quadratiques et des groupes orthogonaux) et en physique. Elles sont nommées ainsi en l'honneur de William Kingdon Clifford.

Table of contents

1 Définition formelle 2 Cas particuliers importants 3 Utilisation en physique 4 Pour en savoir plus 5 Sujets liés

Définition formelle

Soit V un espace vectoriel sur un corps et une forme quadratique sur V  ( on dit que le couple ( V , q ) est un espace quadratique ) . L'algèbre de Clifford est une algèbre associative (unitaire) sur munie d'une application linéaire définie grâce à la « propriété universelle » suivante :

Pour toute algèbre associative A sur , associée à une application linéaire telle que pour tout vecteur de V , ( où 1 désigne l'élément neutre pour la multiplication dans A ) ,  il existe un unique homomorphisme d'algèbres ,

faisant commuter le diagramme            c'est-à-dire tel que    .

L'algèbre de Clifford existe et est unique (pour un q donné) à un isomorphisme d'algèbres près. Elle peut être construire comme l'anneau quotient de l'algèbre tensorielle T( V ) par l'idéal engendré par les éléments .

Cette construction implique que est une injection, et que l'on peut donc voir V comme un sous-espace vectoriel de .

Soit la forme bilinéaire associée à . Une conséquence de la définition est que pour tous vecteurs de V, l'identité est vraie dans . Si le corps n'est pas de caractéristique 2, cette propriété peut être utilisée en tant que définition alternative.

L'algèbre de Clifford est filtrée par les sous-espaces constitués d'éléments pouvant être écrits comme monômes en 0, 1, 2 ... vecteurs de V. L'algèbre graduée associée est alors canoniquement isomorphe à l'algèbre extérieure Λ( V ) de l'espace vectoriel. Cela montre en particulier que dim .

Une manière plus simple est de voir qu'en choisissant une base de V, on peut toujours exprimer, grâce à la relation d'anticommutativité, un élément de l'algèbre de Clifford comme combinaison linéaire de monômes du type :

,

ce qui donne un isomorphisme explicite avec l'algèbre extérieure. Notons que ce n'est qu'un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Si V est de dimension finie paire, que le corps est algébriquement clos et que la forme quadratique est non dégénérée, l'algèbre de Clifford est centrale simple. Ainsi, par le théorème d'Artin-Wedderburn, elle est (non canoniquement) isomorphe à une algèbre de matrices. Il s'ensuit que dans ce cas, possède une représentation irréductible de dimension , qui est unique à un isomorphisme (non unique) près. C'est la (sulfureusement) célèbre représentation spinorielle, dont les vecteurs sont appelés spineurs.

Si dim V  est impaire, l'article reste à remplir...

Cas particuliers importants

Dans le cas où est le corps des réels , l'algèbre de Clifford d'une forme quadratique de signature (p,q) est habituellement notée . Ces algèbres de Clifford réelles ont d'importantes applications pour les espaces vectoriels euclidiens E₁, E₂ et E₃ ainsi que pour l'espace vectoriel pseudo-euclidien E₄ de Minkowski utilisé dans la théorie de le relativité restreinte : elles sont notées respectivement , , et, pour la dernière ,    plutôt que ou .

Utilisation en physique

Les algèbres de Clifford sont importantes en physique. Les physiciens considèrent habituellement l'algèbre de Clifford comme engendrée par des matrices carrées qui vérifient l'identité , où est la matrice d'une forme quadratique de type p,q par rapport à une base orthonormale . Les matrices ne sont que les matrices de la multiplication par le vecteur dans la représentation spinorielle, par rapport à une base arbitraire de spineurs. Les deux exemples les plus importants sont les matrices de Pauli pour la physique quantique non relativiste et les matrices de Dirac pour la physique quantique relativiste.

Pour en savoir plus

• Blokhintsev, « Principe de Mécanique Quantique », Moscou, éditions MIR, 1981
• Gaston Casanova, « l'Algèbre Vectorielle », Paris, collection « Que sais-je ? » n° 1657, PUF, 1976, ISBN 2130343058
• René Deheuvels, « Formes Quadratiques et Groupes Classiques », Paris, collection « Mathématiques », PUF, 1981, ISBN 2130372074
• René Deheuvels, « Tenseurs et Spineurs », Paris, collection « Mathématiques », PUF, 1993, ISBN 2130449409
• Doubrovine, Novikov et Fomenko, « Géométrie Contemporaine, méthodes et applications », Tomes I et II, Moscou, éditions MIR, 1982
• Herbert Goldstein, « Classical Mechanics », Cambridge, Addison-Wesley, 4th edition, 1956, ISBN 0201657023
• D.Hestenes, « Space-Time Algebra », New York, Gordon & Breach, 1966, ISBN 0677013906
• Jean Hladik, « Le Calcul Vectoriel en Physique », Paris, éditions Ellipses, collection « Les outils mathématiques », 1993, ISBN 2729843175
• Lawson and Michelsohn, « Spin Geometry », Princeton, Princeton University Press, 1989, ISBN 0691085420
• Landau et Lifchitz, « Théorie des Champs », Moscou, éditions MIR, 5ème édition, 1994, ISBN 2729894039
• Lounesto, P., « Clifford Algebras and Spinors », Cambridge, Cambridge University Press, 2001, ISBN 0521599164
• Porteous, I., « Clifford Algebras and the Classical Groups », Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0521551773.
• Van der Waerden, « A History of Algebra from al-Khwarizmi to Emmy Noether », New York, Springer-Verlag, 1985, ISBN 038713610X

Sujets liés

• Algèbre de Clifford de l'espace-temps
• Algèbre d'espace-temps
• Algèbre de Clifford de l'espace euclidien
• Algèbre de Clifford du plan euclidien
• Algèbre de Clifford de la droite euclidienne
• les multivecteurs
• Théorie de la relativité
• Physique quantique
• Particules élémentaires
• Matrices carrées
• Matrices de Dirac
• Matrices de Pauli
• Nombres hypercomplexes
• Pour ceux qui savent lire l'anglais : une histoire des algèbres de Clifford où intervient un mathématicien français, Olinde Rodrigues

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