Action de groupe Article, Signification, Explication

Table of contents

1 Définition 2 Exemples 3 Caractéristiques des actions de groupe 3.1 Action transitive 3.2 Action fidèle 4 Orbites et stabilisateurs 4.3 Orbite d'un élément 4.4 Stabilisateur d'un élément 4.5 Fixateur d'un élément du groupe 4.6 Formule des classes, formule de Burnside

Définition

Étant donné un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté , on peut définir l'action (ou opération) de G sur un ensemble E par une application :

vérifiant les propriétés suivantes :

Dans ce cas on dit également que opère (ou agit) sur l'ensemble . Il est important de bien vérifier que l'ensemble est stable sous l'action de l'ensemble .

Un point de vue équivalent consiste à dire que l'ensemble opère sur l'ensemble si l'on dispose d'un morphisme de groupe , dit associé à l'action, allant de l'ensemble dans le groupe symétrique de . Rappelons que le groupe symétrique de l'ensemble , noté , est l'ensemble des bijections de l'ensemble dans lui-même (ou permutations de ), muni de la composition des applications. Le morphisme est relié à l'action par

pour tous et .

Exemples

• Un groupe opère sur lui-même de deux manières fondamentales :
  • par translation :

• • ou par automorphismes intérieurs :

• Le groupe symétrique d'un ensemble E opère naturellement sur E :

• Le groupe orthogonal (resp. unitaire) d'un espace euclidien (resp. hermitien) E opère sur sa sphère unité :

• Le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E opère sur l'ensemble de ses bases :

• Le groupe projectif (ou groupe des homographies) d'un espace projectif opère sur l'ensemble de ses faisceaux harmoniques :

• Si pour tout entier relatif n on définit

alors le groupe opère sur :

Caractéristiques des actions de groupe

Action transitive

Une action est dite transitive si elle possède une seule orbite.

Action fidèle

Une action est fidèle si le morphisme associé est injectif, soit encore si les stabilisateurs de tous les éléments sont réduits au neutre.

Orbites et stabilisateurs

Orbite d'un élément

On définit l'orbite d'un élément de par

L'orbite de est l'ensemble des positions (dans ) susceptibles d'être occupées par l'image de x sous l'action de . La relation « est dans l'orbite de » est une relation d'équivalence sur , les classes d'équivalences sont les orbites.

En particulier, les orbites forment une partition de .

Stabilisateur d'un élément

Le stabilisateur d'un élément de est l'ensemble

des éléments qui laissent invariant sous leur action. C'est un sous-groupe de . Les stabilisateur de deux éléments de la même orbite sont isomorphes via la formule :

L'application

est une bijection de sur .

Fixateur d'un élément du groupe

On peut définir, de manière analogue, le fixateur d'un élément comme l'ensemble des éléments de invariants sous l'action de

Formule des classes, formule de Burnside

À travers les notions d'orbite et de stabilisateur, les actions de groupe sont un outil commode en combinatoire. D'autre part, un certain nombre de propriétés concernant la structure de certains groupes peuvent être démontrées par des arguments de dénombrement.

Deux identités reviennent fréquemment. La formule des classes

où prend exactement une valeur dans chaque orbite, relie le cardinal de l'ensemble à la structure du groupe. La formule de Burnside affirme pour sa part que le nombre d'orbites est

.

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