Équation diophantienne Article, Signification, Explication
En mathématiques, une équation diophantienne est une équation entre deux polynômes à coefficients entiers avec un nombre quelconque d'inconnues. Un problème diophantien veut dire une équation diophantienne, où des nombres entiers mis pour les inconnues, fournissent les solutions qui satisfont l'équation.
L'exemple le plus simple :
Une équation diophantienne linéaire est une équation entre deux sommes de monômes de degrés zéro ou un.
Ce type d'équation doit son nom au mathématicien grec Diophante (IVe siècle av. J.-C).
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2 Résolution d'une équation diophantienne 3 Relation avec la géométrie 4 Liens externes |
Soit , une équation diophantienne d'inconnues , on note l'ensemble de ces solutions.
La résolution d'une équation diophantienne permet d'obtenir un système du type
Cependant, lorsque k parcourt , ce système est également la représentation paramétrique d'une droite; lorsque k parcourt un intervalle, c'est la représentation paramétrique soit d'un segment, soit d'une demi-droite. En connaissant ces différentes figures, on peut en déduire l'ensemble des solutions de l'équation diophantienne considérée : c'est l'ensemble des coordonnées des points situés sur la figure et dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
Ces problèmes traditionnels sont posés et souvent non-résolus pour des siècles, les mathématiciens d'ailleurs en viennent graduellement à les comprendre dans leur profondeur (dans certains cas), plutôt que les traiter comme des puzzles. En 1900, en reconnaissance de leur profondeur, Hilbert proposa la résolubilité de tous les problèmes diophantiens comme le dixièmes de ses célèbres problèmes. En 1970, un nouveau résultat en logique mathématique connu sous le nom de théorème de Matiyasevich posa le problème négativement : en général les problèmes diophantiens ne sont pas résolubles. Le point de vue de la géométrie diophantienne, qui est une application des techniques de la géométrie algébrique dans ce domaine, a continué de croître comme résultat ; puisqu'en traitant les équations, cela mène à une impasse, l'attention se tourne vers les équations qui ont aussi un sens géométrique.
Une des approches générales est à travers le principe de Hasse. La descente infinie est la méthode traditionnelle, et à été poussée très loin.
La profondeur de l'étude des équations diophantiennes générales est montrée par la caractérisation des ensembles diophantiens comme récursivement énumérables.
Le domaine de l'approximation diophantienne a à voir avec les cas d'inégalités diophantiennes : les variables sont toujours supposées être entières, mais certains coefficients peuvent être des nombres irrationnels, et le signe de l'égalité est remplacé par des bornes supérieures et inférieures.
C'est un article concernant le Équation diophantienne. La page contient la signification du Équation diophantienne , Description et explication au sujet de Équation diophantienne Exemples d'équations diophantiennes
Résolution d'une équation diophantienne
si et seulement si le pgcd de et divise c :.
Supposons . On peut simplifier l'équation par . On a alors
Considérons l'équation homogène
Soit
une solution particulière. On peut obtenir cette solution en considérant la relation de Bézout associée à et :
On a alors
Relation avec la géométrie
Le dixième problème de Hilbert
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